Это перевод статьи
https://medium.com/cantors-paradise/unexpected-beauty-in-primes-b347fe0511b2Неожиданная красота в простых числахВизуализация простых чисел и их потенциальное значениеЗначение простых чисел, как в повседневных приложениях, так и в качестве подтемы, относящейся ко всем отраслям математики, невозможно переоценить . Мы спокойно полагаемся на их особые свойства, как на основу бесчисленных частей нашего общества - и все это потому, что они являются неотъемлемой частью самой природы. Устойчивые к любой дальнейшей факторизации, простые числа часто называют «атомами» математического мира. Как красноречиво описывает их Карл Саган:
Существует определенная важность статуса простых чисел как самых фундаментальных строительных блоков всех чисел, которые сами являются строительными блоками нашего понимания вселенной.
Использование простых чисел в природе и в нашей жизни повсюду: цикады измеряют их жизненные циклы, производители часов используют их для вычисления тиков, а авиационные двигатели используют их для балансировки частоты воздушных импульсов. Однако все эти варианты использования не значимы по сравнению с одним фактом, с которым знаком каждый криптограф: простые числа находятся в самом центре современной вычислительной безопасности, что означает, что простые числа непосредственно отвечают за защиту почти всего. Видите "замок" в строке URL? Да, это обмен ключами, приведенный в действие простыми числами. Как ваша кредитная карта защищена при покупках? Опять же, шифрование работает на простых числах.
Тем не менее, из-за нашей постоянной уверенности в их уникальных свойствах простые числа остаются неуловимыми. На протяжении всей истории математики величайшие умы пытались доказать теорему для предсказания того, какие числа просты или как далеко друг от друга расположены последовательные простые числа. Фактически, горстка нерешенных проблем, таких как двойные простые числа , гипотеза Гольдбаха , простые палиндромные числа и гипотеза Римана, вращаются вокруг этой общей непредсказуемости и неопределенности простых чисел по мере приближения к бесконечности. Конечно, с первых дней существования Евклида мы нашли несколько алгоритмов, которые предсказывают некоторые размещения, но общие теоремы не были приняты, и предыдущие попытки не имели инструментов для проверки больших чисел. Технологии 21-го века, однако, делает позволяют исследователям тест предложений с очень большими числами, но этот метод сам по себе вызывает споры, поскольку тестирование грубым перебором не совсем глобально принято в качестве твердого доказательства. Другими словами, простые числа сопротивлялись любой универсальной формуле или уравнению, их появление в природе оставалось статусом случайности.
Как оказалось, однако, простая писанина доказывает, что они, по крайней мере, не совсем случайны…
Спираль УламаОдно из величайших доказательств того, что появление простых чисел не является простым совпадением, пришло из одного из самых неожиданных мест: непринужденных и случайных рисунков одного скучающего посетителя лекции.
Одно из величайших доказательств того, что появление простых чисел не является простым совпадением, пришло из одного из самых неожиданных мест: непринужденных и случайных рисунков одного скучающего посетителя лекции.
Как гласит история, один польский математик, Станислав Улам, наткнулся на визуальный шаблон в 1963 году во время семинара. Рисуя сетку линий, он решил пронумеровать пересечения в соответствии с квадратно-спиральным рисунком, а затем начал обводить числа в спирали, которые были простыми числами. Удивительно, но обведенные простые числа, казалось, падали вдоль ряда диагональных прямых линий или, в несколько более формальной прозе Улама, это:
"По-Видимому, проявляет сильно неслучайный внешний вид"
Спираль Улама, или простая спираль, является результирующим графическим изображением от маркировки набора простых чисел в квадратной спирали. Он был первоначально опубликован и достиг основного направления через колонку математических игр Мартина Гарднера в Scientific American.
Спираль Улама
Приведенная выше визуализация четко выделяет значительные паттерны, особенно по диагонали. Но, может быть, мы обманываем самих себя? Общий контраст спирали Улама заключается в том, что, возможно, наш мозг просто обманывает нас, заставляя присваивать эти паттерны в случайном порядке. К счастью, мы можем использовать два разных подхода, чтобы подтвердить, что это не так. Как визуальное сравнение , так и логическое прохождение убедят вас в том, что они, безусловно, не случайны. Во-первых, мы сравним спираль Улама, сделанную матрицей размеров NxN, с равновеликой матрицей NxN, содержащей случайно назначенные точки. Во-вторых, мы будем использовать наши знания о полиномах, чтобы точно объяснить, почему мы должны ожидать некоторого шаблона в визуальном макете простых чисел.
Как уже упоминалось, наиболее вероятным интуитивным способом подтверждения неслучайного паттерна с помощью спирали Улама является прямое сравнение. Это делается путем создания как спирали Ulam, так и спирали со случайными размещениями одинакового размера. Ниже приведены две различные матрицы 200x200, которые представляют собой числовые спирали:
При визуальном сравнении довольно очевидно, что спираль Улама содержит поразительные узоры, особенно вдоль определенных диагональных осей; кроме того, существует мало, если вообще есть кластеризация. С другой стороны, случайное расположение точек не дает никаких сразу же очевидных закономерностей-справедливо приводящих к разнонаправленной кластеризации. Бесспорно, в этом нет строгости традиционных доказательств; однако есть что-то чистое в визуализации простых спиралей, метод,что дает диаграмму, которая является одновременно логически стимулирующей и эстетически увлекательной.
Подходя к природе простых чисел более логичным и традиционным способом, на самом деле разумно ожидать паттернов в этих визуализациях. Как отмечалось выше, линии в диагональном, горизонтальном и вертикальном направлениях, по-видимому, содержат подсказку. Некоторые из этих линий, которые не являются простыми числами, могут быть объяснены простыми квадратичными полиномами, которые по своей сути исключают простые числа — например, одна из диагональных линий будет представлять y = x
2, что явно исключает простые числа. С другой стороны, несколько квадратичных полиномов, известных как простые формулы (мы увидим их снова), как известно, производят высокую плотность простых чисел, таких как полином Эйлера, порождающий простые числа: x
2-x - 41, Еще одна линия, которая появляется как шаблон в спирали (думал, что это трудно идентифицировать и не непрерывный на диаграмме выше).Визуальное сравнение намекает на паттерны, в то время как логическое прохождение подтверждает существование ожидаемых паттернов путем сопоставления простых чисел. Опять же, далеко не универсальная формула для нахождения всех простых чисел, но спираль Улама, несомненно, прекрасна как маркер знания и произведение естественного искусства.
Спираль МешкаКак и многие темы в математике, в тот момент, когда появляется оригинальная идея, за ней следует целая армия коллег, чтобы попытаться внести свой вклад в растущее поле. Разумно, спираль Улама вдохновила поколения математиков, которые стремились построить на вершине своих увлекательных открытий. В 1994 году один Роберт Сакс, инженер-программист по профессии, стремился использовать свои навыки программирования для визуализации простых чисел различными способами.
Подобно спирали Улама, Сакс решил построить свою диаграмму, используя другую спиральную плоскость. Подобно квадратной спирали выше, спиральные плоскости отказываются от традиционной декартовой системы счисления, чтобы идентифицировать точку, так как это униполярная система позиционирования. Простое знание числа показывает его местоположение в спирали, его положение относительно каждого другого числа в спирали, и его расстояние от предыдущего и следующего идеального квадрата. Однако вместо квадратной спирали Сакс попытался найти паттерны с целыми числами, нанесенными на архимедову спираль со следующими полярными координатами:
В этом методе архимедова спираль центрируется на нуле с квадратами всех натуральных чисел (1,4,9,16,25), построенными на пересечениях спирали и полярной оси (непосредственно к востоку от начала координат).
Из этой установки мы затем заполняем точки между квадратами вдоль спирали (против часовой стрелки), рисуя их на равном расстоянии друг от друга. Наконец, как и в Примере Улама выше, мы выделяем простые числа, содержащиеся в результирующей спирали.
Впервые опубликованная в интернете в 2003 году, спираль Мешка является одновременно визуально захватывающей и интеллектуально привлекательной. Кроме того, как мы вскоре продемонстрируем, он также дает более глубокое понимание паттернов простых чисел, чем известная спираль Улама, потому что, по сути, он соединяет ломаные линии псевдо-спирали Улама:
Архимедова спираль с выделением простых чисел - Sacks Spiral
Результирующая диаграмма еще раз подчеркивает очевидные закономерности. Почти сразу становится ясно, что существует чисто белая линия, исходящая из центра и тянущаяся горизонтально на восток. Возвращаясь к нашей настройке, мы можем подтвердить, что это просто линия, которая содержит все идеальные квадраты (r = n
^(.5)). Второе наблюдение, которое бросается в глаза, заключается в том, что узор маркировок, в отличие от прямых линий, видимых в спирали Улама, на этот раз более точно имитирует кривые линии. Как оказалось, эти кривые линии, также известные как кривые произведения, возвращаются к полиномиальной интуиции, объясняющей паттерны, возникшие в предыдущей спирали. Однако, прежде чем мы перейдем к ним, давайте возьмем быструю секунду для согласованности, чтобы сравнить спираль мешка с произвольно построенной спиралью:
