De forma reduzida, vou citar todos os aspectos do Bitcoin tentando complementar o que o Thiago já disse:
Ele funciona através da blockchain(corrente dos blocos), que é uma sequência dos blocos que foram gerados e descobertos pelos mineradores. A mineração é um brute-force de uma criptografia SHA256(SHA256(bloco)) senão me engano, e a dificuldade de descobrir o bloco aumenta junto com a hashrate de toda a rede, ou seja, quanto mais pessoas minerarem, mais difícil fica de conseguir o bloco. E por ser instruções simples, a capacidade de ter vários núcleos é o que faz as placas de vídeo tão boas nesse trabalho, mas se Deus quiser, e assim espero, daqui 3 meses esse cenário muda para os ASICs, que nada mais são do que chips montados para um propósito único, e tem empresas montando ASICs para a mineração do Bitcoin.
Pra saber o seu "saldo" você precisa da blockchain, os blocos nada mais são do que uma lista de todas as transações que foram solicitadas a rede e que os mineradores "aceitaram". Já fica o aviso: a Blockchain é pesada, eu nunca mais atualizei mas tava com mais de 3GB última vez que olhei aquela pasta, e se você não liberar a porta certa só vai conseguir 8 conexões com peers, fazendo levar uma eternidade baixar ela. Pra isso inventaram o Electrum, que serve como o como qualquer outro software de carteira/wallet, só que aí você fica dependente de um servidor que tenha a blockchain.
Como você deve ter reparado, tem muita criptografia em jogo. E é por isso que ele é seguro, todo endereço tem uma private key, que garante que você é o dono de 1XYZ endereço(todo endereço começa com 1), e chance de alguém gerar o mesmo endereço que o seu é ridiculamente baixa, 1/2^160. E por isso é que é importante manter a segurança do computador que possui a carteira, ninguém além de você pode tocá-la, e ela também não pode ser comprometida, digamos que você formate seu computador, ao fazer isso você perde a private key e com isso todo o dinheiro da carteira também. Não que os bitcoins deixem de existir, mas é pelo simples fato de não poder "abrir" a carteira que você perde aqueles bitcoins.
Hoje o jeito mais fácil de se ganhar Bitcoins é comprando com fiat(BRL, USD, EUR) e depois brincar de bolsa de valores: compra custando pouco, vende custando mais caro. Visite o MtGOX, você vai ver que acontece um monte de transações o dia todo e que o volume é alto. Ah e hoje o mercado tá em alta, se você comprar exatamente hoje tem altas chances de ganhar um bom lucro