TL;DR: ja, der Beitragsservice hat das Recht, auf Überweisung zu bestehen.
Nur Euro-Banknoten sind unbeschränktes gesetzliches Zahlungsmittel, Münzen lediglich bis zu gewissen Höchstgrenzen.
Überweisungen stellen keine Zahlung dar, sondern eine "Leistung an Erfüllungs statt".
D.h. der Gläubiger kann die Annahme der Überweisung ablehnen, muss dafür aber im Zweifelsfall gute Gründe haben.
Im umgekehrten Falle, wie bei dir, gilt prinzipiell die Vertragsfreiheit, d.h. dein Gegenüber darf die Zahlungsmodalitäten frei bestimmen.
Entscheidend sind hier also nicht gesetzliche Regelungen, sondern einzig und allein die einzelvertraglichen Bestimmungen der Firma "Beitragsservice der Rundfunkanstalten". Die wiederum finden sich zufälligerweise aber in Form eines, bzw. mehrerer Gesetze wieder, nämlich Rundfunkstaatsvertrag, Rundfunkbeitragsstaatsvertrag und Rundfunkfinanzierungsstaatsvertrag (in letzterem lediglich die Höhe des Beitrags).
Ab da wird's ein wenig kompliziert. Im Rundfunkbeitragsstaatsvertrag steht bspw. unter
§ 10 (7), dass die Satzung der Landesrundfunkanstalt das Beitragsverfahren regelt. Dort finden wir dann im Falle des WDR
§ 10
Zahlungen
[…]
(2) Der Beitragsschuldner kann die Rundfunkbeiträge nur bargeldlos mittels folgender Zahlungsformen entrichten:
1. Ermächtigung zum Einzug mittels Lastschrift bzw. künftiger SEPA-Basislastschrift,
2. Einzelüberweisung oder
3. Dauerüberweisung.
So ähnlich wird das für die anderen Landesrundfunkanstalten auch gelten.
Musst du dir halt im Zweifelsfall raussuchen.
Mal noch ein paar Grundlagen zu den Zahlungsmitteln zusammengequotet:
In Deutschland sind „auf Euro lautende Banknoten das einzige unbeschränkte gesetzliche Zahlungsmittel“. Bei Euro- und Centmünzen ist die Annahmepflicht auf maximal 50 Münzen begrenzt. Nach Art. 11 Satz 3 dieser EG-Verordnung ist „mit Ausnahme der ausgebenden Behörde (...) niemand verpflichtet, mehr als fünfzig Münzen bei einer einzelnen Zahlung anzunehmen“.
Euro-Gedenkmünzen müssen gemäß § 3 Absatz 1 Münzgesetz ebenfalls lediglich in begrenztem Umfang akzeptiert werden. Bei Zahlungen, die nur aus Gedenkmünzen bestehen, müssen Beträge bis 200 Euro akzeptiert werden; erfolgt eine Zahlung sowohl in Euro-Münzen als auch in deutschen Euro-Gedenkmünzen, ist auch hier niemand verpflichtet, mehr als 50 Münzen anzunehmen. Gedenkmünzen, die auf Euro lauten, sind mit Ausnahme der 2-Euro-Münzen nur in den Ausgabeländern gesetzliche Zahlungsmittel.
(1) Die Deutsche Bundesbank hat unbeschadet des Artikels 128 Absatz 1 des Vertrages über die Arbeitsweise der Europäischen Union das ausschließliche Recht, Banknoten im Geltungsbereich dieses Gesetzes auszugeben. Auf Euro lautende Banknoten sind das einzige unbeschränkte gesetzliche Zahlungsmittel. Die Deutsche Bundesbank hat die Stückelung und die Unterscheidungsmerkmale der von ihr ausgegebenen Noten öffentlich bekanntzumachen.
(2) Die Deutsche Bundesbank kann unbeschadet des Artikels 128 Absatz 1 des Vertrages über die Arbeitsweise der Europäischen Union Noten zur Einziehung aufrufen. Aufgerufene Noten werden nach Ablauf der beim Aufruf bestimmten Umtauschfrist ungültig.
Sonstige Zahlungsmittel
Nur Bargeld ist weltweit ein gesetzliches Zahlungsmittel in den jeweiligen Ländern. Die übrigen Zahlungsmittel erfüllen nicht die Voraussetzungen eines gesetzlichen Zahlungsmittels, insbesondere ist mit ihrer Verwendung kein Annahmezwang für Gläubiger verbunden. Zu den übrigen Zahlungsmitteln gehört die Verfügung über Buchgeld im unbaren Zahlungsverkehr durch Überweisung, Scheck, Wechsel oder Lastschrift. In Deutschland werden sie erfüllungsrechtlich als Leistung an Erfüllungs statt (Überweisung) oder Leistung erfüllungshalber (die übrigen Zahlungsmittel) eingeordnet. Sorten und Devisen sind ausländische Zahlungsmittel, für die ebenso wenig ein Annahmezwang im Inland besteht wie für andere geldnahe Wertzeichen (etwa Briefmarken).
Der Gläubiger kann diese – nicht gesetzlichen – Zahlungsmittel als Gegenleistung akzeptieren, eine Annahmepflicht gibt es jedoch nicht.