La pregunta es si esto es posible y en caso afirmativo que servidores me recomiendan.
Más que cloud, quizás lo mejor sería un VPS (Virtual Private Server). El VPS te permite control total de la máquina, así que puedes utilizar comandos Linux como si estuvieras en casa.
Idealmente, instalas un nodo Bitcoin Core en un VPS con 4 GB de RAM y lo lanzas con el argumento -dbcache=2000 . De esta manera 2GB quedan reservados para el nodo y el resto lo tienes libre para el sistema operativo y demás aplicaciones.
Si quieres guardar la cadena de bloques al completo, necesitas al menos 350 GB de disco duro para poder aguantar durante un año sin problemas, ya que en cuanto entre Segwit, la cadena de bloques va a crecer a un ritmo de 100 GB/año (no planteo ahora la posibilidad de hard fork, que lo llevaría a 200 GB/año). Tendrías que plantearte seguramente en ese caso, el modo "pruned", con un aporte relevante pero limitado de tu nodo a la red. Vigila también el coste de subida de datos mensual por red.
Namecheap acepta bitcoins y proporciona VPS, aunque tendrías que ir a la versión pruned porque ninguno de sus plantes admite más de 100GB de disco duro (y no es barato, 500 euros al año con solo 60GB de disco).
Si realmente quieres cloud, entonces por ejemplo, ya no hablamos de disponibilidad total de disco duro, sino de su "uso", es decir, de "almacenamiento procesado". Es más difícil calcular el coste de antemano, pero es posible poner "quotas" máximas para no pegarte sustos con la factura. Puedes probar con AWS, pero 300 dólares por año no te va a quitar nadie. Cuando se active Segwit, el coste final subirá aún más porque la cadena de bloques crecerá al doble de velocidad de lo que lo hace actualmente.